Ondokuz Mayıs Üniversitesi İnşaat Müh. Bölümü, SAMSUN

Bu çalışmada, düzlemsel çerçevelerin davranışı üzerinde, bağlantıların davranışının ve geometrik nonlineerliklerin etkisi araştırılmaktadır. Bu amaçla FORTRAN77 dilinde bir bilgisayar programı hazırlanmıştır. Eğer sisteme yüklenen yük tanjant rijitlik matrisinin determinantını negatif yapıyorsa, program tarafından kritik yük faktörü hesaplanmaktadır. Bağlantıların nonlineer M-q _r bağıntısı için Richard Modeli kullanılmakta ve malzeme davranışının lineer elastik olduğu kabul edilmektedir. İkinci mertebe analize ait tanjant rijitlik matrisi, çubuk elemanın moment-eğrilik ilişkisini idare eden lineer diferansiyel denklemin, eksenel kuvvet ve yarı rijit bağlantı etkileri de göz önüne alınarak sınır şartları için çözümünden elde edilmektedir. Bu yöntemde, yükler adım adım uygulanmaktadır. Her yük adımında dengelenmemiş kuvvetler kontrol edilmekte ve bu değer tanımlanan toleranstan küçük olana kadar iterasyon işlemine devam edilmektedir. Bu işlemler neticesinde nonlineer analizin lineerleştirilmesinden doğan hatalar istenilen düzeye indirilmektedir.

ANAHTAR KELİMELER / KEY WORDS :

Nonlineer, yarı rijit bağlantı, düzlemsel, stabilite, adım adım yükleme / Nonlinear, semi-rigid connection, planar, stability, incremental loading

1. GİRİŞ

Bu çalışmada, düzlemsel çerçevelerin davranışı üzerinde, bağlantıların davranışının ve geometrik nonlineerliklerin etkisi araştırılmaktadır. Hazırlanan bilgisayar programı ile nonlineer analiz yapılmaktadır. Ancak sistem rijitlik matrisinin determinantı negatif olursa sisteme ait kritik yük faktörü de hesaplanmaktadır. İkinci mertebe etkiler gözönüne alınırken eksenel kuvvetin eğilme ve kesme rijitliklerine etkisi ve eğilme nedeniyle oluşan kısalmanın eksenel rijitliğe katkısı göz önüne alınmaktadır. Farklı ara yükleme şekilleri için ankastrelik uç kuvvetleri, eksenel kuvvet ve bağlantı davranışı da göz önüne alınarak hesaplanmaktadır. Yükler sisteme adım adım uygulanmaktadır. Her adımda çubuk uçlarında oluşan dengelenmemiş kuvvetler kontrol edilmekte ve dengelenmemiş kuvvetin olması durumunda sisteme uygulanmaktadır. Dengelenmemiş kuvvetler belirli bir tolerans değerinden küçük oluncaya kadar iterasyon işlemine devam edilmektedir.

Sisteme etkiyen yüklerin sırası, birlikte etkiyip etkimemeleri, eksenel kuvvetlerin eğilmeye katkısının alınıp alınmaması ve diğer durumlar literatürde mevcut olan örnekler üzerinde incelenmiştir.

Düzlemsel çubuk elemanların her bir ucunda yerel eksenler yönünde iki kuvvet ve bu eksenlere dik olan eksen etrafında bir moment etki etmektedir (Şekil 1). Her bir uçta eksenler yönünde deplasmanlar ve bu eksenlere dik olan eksen etrafında ise dönme mevcuttur.

Düzlemsel çubuk elemanın uç kuvvetleri {p}, uç deplasmanları {d} ve ankastrelik uç kuvvetlerinin {f} her biri 6´ 1 boyutlu birer vektör olarak verilebilirler.

                          .....................(1)

(1) vektörleri arasında

.....................(2)

şeklinde bir bağıntı vardır.

Matris gösterimi kullanılacak olursa (2) bağıntıları aşağıdaki şekilde gösterilebilir:

.....................(3)

Kapalı olarak bu ifade aşağıdaki şekilde yazılabilir.

.....................(4)

Burada [k] 6´ 6 boyutlu eleman rijitlik matrisidir. (3) ifadesinde, çubuk yerel eksen takımında tanımlanan [k] matrisinin, sisteme ait düğüm deplasmanlarının bulunması için sistem eksen takımında tanımlanması lazımdır. Bu şekilde çubuklara ait bulunan [k’] matrisleri kodlama tekniği ile toplanarak [K] elde edilir. Sistem eksen takımında oluşturulan {P} ve [K] kullanılarak

.....................(5)

ifadesinden, sistem deplasmanları {D} elde edilir.

Burada {P} sistem yük vektörünü, [K] sistem rijitlik matrisini, {D} ise sistem deplasman vektörünü göstermektedir.

Sistem eksen takımında bir kuvveti bulabilmek için

.....................(6)

ifadesi kullanılır.

Burada kullanılan üssü işareti sistem eksen takımında olduklarını göstermektedir ve

.....................(7)

ile elde edilmektedirler.

Burada [T] transformasyon matrisini göstermektedir.

, .....................(8)

Eksenel kuvvetin sıfır olması durumunda eğer nonlineer davranan dönel yaylarda varsa (3) deki [k] rijitlik matrisi (Erdem, Aksoğan, Hüseyin 1996)

..........................................(9)

şeklinde tanımlanabilir.

Yukarıdaki matrislerde kullanılan kısaltmalar aşağıda verilmektedir.

.....................(10)

,

Bu ifadelerdeki k_a ve k_b boyutlu yay katsayıları olup bir radyan dönmeye karşı gelen momentleri gösterirler. k₁ ve k₂ x-y düzleminde çubuğun i ve j uçlarındaki dönel yaylara ait boyutsuz yay katsayılarıdır.

2.4 Yarı Rijit Bağlı Düzlemsel Çerçevelerin Nonlineer Rijitlik Matrisi

Yapı sistemleri, sisteme uygulanan yükler altında, başlangıçta lineer gibi davransalar da, artan yükler altında eğilme momentlerinin ve eksenel kuvvetlerin birbirlerinin rijitliklerini etkilemelerinden dolayı nonlineer davranış gösterirler. Eksenel kuvvetin çekme olması durumunda deformasyon ve eğilme momenti azalmakta, basınç olması durumunda ise artmaktadır.

Yapı yükleme yapıldıkça deplasman yapmaktadır. Yapının bu yer değiştirmiş düğümlerine uygulanan yükler de ilave momentler doğurmaktadır. Oluşan bu momentler de yapının çubuk kuvvetlerini ve kritik yükünü etkilemektedir. Bütün bu nedenlerden dolayı geometrik etkiler hesaplarda göz önüne alınmalıdır.

Çubuk elemanların nonlineer davranışı geometrik rijitlik matrisini kullanan sonlu elemanlar yöntemleri ile veya kesin çözüme ait rijitlik matrisleri kullanılarak incelenebilir.

Bu çalışmada kesin çözüme ait rijitlik matrisleri kullanılacaktır. Bu yöntemde eksenel kuvvetin etki ettiği elemanı idare eden denge denklemi çözülüp eleman rijitlik matrisi elde edilmektedir. Eksenel kuvvetin sıfır, çekme ve basınç olması için farklı çözümleri bulunmaktadır. Bu yöntem çubuk elemanı tek parça olarak ele alan hesaplarda çok daha doğru sonuçlar vermektedir.

Geometrik nonlineerlikler yükleme sırasında yapının elemanlarında yer değiştirme ve eğilmeler olmasıyla meydana gelir. İkinci mertebe momentler uygulanan yükler uygun deplasmanlarla çarpıldığında elde edilirler.

Geometri değişiminin daha da büyük olması halinde bunun denge şartlarından başka geometrik uygunluk şartları üzerindeki etkisinin de hesaba katılması gerekir. Bu durumda daha evvelce açıklandığı gibi yüklere küçük artımlar verilerek çözüme gidilebilir. Her yük adımında, sistem ekseni olarak bir önceki adımda bulunan deforme olmuş eksen takımı kullanılarak geometri değişiminin çözüme etkisi hesaba katılmış olur.

Yüklere küçük artımlar verildiğinden deplasmanlar da küçük olacak ve her adımda göz önünde tutulan sistem ekseni için lineer geometrik uygunluk şartları kullanılabilecektir. Ayrıca her adım içerisinde dengelenmemiş kuvvetler kontrol edilmektedir. Dengelenmemiş kuvvetleri düzeltme için yapılan bu işlemler neticesinde aynı zamanda deplasmanlar da düzeltilmiş olmaktadır.

Kuvvetler ve deplasmanlar arasındaki temel ilişki birinci mertebe rijitlik matrisinde olduğu gibi kapalı formunda gösterilebilir. Ancak ve ifadelerinde eksenel kuvvetin ve eğilme momentlerinin neden olduğu değişiklikler yapılmalıdır. Değişikliklerle bu ilişki ikinci mertebe analizinde de kullanılabilir.

..........................................(11)

Burada

, , , , , ..........................................(12)

olarak tanımlanmaktadır.

Yukarıdaki matrislerde kullanılan kısaltmalar aşağıda verilmektedir.

.....................(13)

,

k_a= i ucuna ait dönel yay rijitliği

k_b= j ucuna ait dönel yay rijitliği

Yukarıdaki ifadelerde eksenel kuvvet basınç (N>0) ise *=1 dir. Eğer eksenel kuvvet çekme (N<0) ise *= -1 olur ve Sin u, Cos u, Cot u, Cosec u ifadelerinin yerlerini sırasıyla Sinh u, Cosh u, Coth u, Cosech u ifadeleri alırlar.

Hesaplamalarda, her deformasyon durumunda uygunluk ve denge koşulunun sağlanması gerekir. Eleman rijitlik matrislerinden sistem rijitlik matrisinin elde edilmesinde, bir düğüm noktasında birleşen çubuk uçlarının aynı deplasmanı yapacakları kabulü kullanılmıştır. Böylece düğüm noktalarında sağlanması gereken uygunluk koşulları yerine gelmiş olmaktadır.

Düğüm noktalarının dengesi için ise düğüm noktalarına etkiyen dış kuvvetlerle çubuk uçlarında meydana gelen uç kuvvetleri için denge denklemleri yazılır. Nonlineer analizde yükler adım adım orantılı olarak yüklenmekte ve bu yükleme sırasında dengelenmemiş kuvvetler oluşmaktadır. Düğümlerde dengeyi sağlayabilmek için her bir yük adımında dengelenmemiş kuvvetleri küçültmek amacıyla iterasyonlar yapılmaktadır. Her iterasyonda düğümlerin deplasmanları kullanılarak düğüm koordinatları yenilenmekte ve bu son duruma göre çerçeve yeniden çözülmektedir. Denge belirli bir doğrulukla sağlandığında yeni yük adımına geçilmektedir.

Bu çalışmada, toplam yükleri yük adım sayısına bölerek orantılı olarak uygulayan ve böylece nonlineer analizi lineerleştiren, ayrıca her yük adımında da düğüm denge denklemlerini sağlamak için Newton-Raphson yöntemi adım adım yükleme ile iterasyon biçiminde uygulanmaktadır.

.....................(14)

Burada i indisi yük adım sayısını, j indisi ise bir yük adımındaki iterasyon devresini göstermek için kullanılmaktadır. {D P}ⁱ⁺¹ sisteme uygulanan o andaki yük vektörünü, o adımdaki toplam iç direnç vektörünü, ise dengelenmemiş yük vektörünü göstermektedir.

Bu yöntem değerlerinin o adımdaki (iterasyondaki) toplam yük değerleriyle karşılaştırılmasına dayanmakta olup aşağıdaki şekilde verilir.

.....................(15)

Burada TOL belirlenen toleransı göstermektedir.

Kirişten kolona olduğu gibi bir elemandan diğerine transfer edilen kuvvetlerin ve momentlerin arasında bağlantılar vardır. Birçok bağlantıda eksenel ve ona dik bağıl yer değiştirmeler, açısal bağıl yer değiştirmelere göre daha küçüktür.

Açısal bağıl yer değiştirmeler bağlantıdaki momentin bir fonksiyonu olarak tarif edilmektedir. Bir bağlantıya M momenti uygulandığında kiriş ve kolon arasında q _r bağıl dönmesi meydana gelir. Bu dönme kiriş ve kolon eksenleri arasındaki açının değişmesini göstermektedir (Şekil 2).

Yarı rijit bağlantılar için M-q _r bağıntısı hemen hemen tüm yükleme boyunca nonlineerdir. Bağlantı davranışı lineer, çok parçalı lineer, polinom, kübik b-spline, kuvvet ve üssel modellerle gösterilmektedir. Bağlantı davranışını modellemeye en uygun olan “Dört Parametreli Richard Modeli” burada kullanılmaktadır. Bu modelde bağlantı rijitliği

..........................................(16)

ile gösterilmektedir.

Buradaki K_o bağlantının ilk rijitliğini, K_p bağlantının plastik rijitliğini, M₀ referans momentini ve n ise eğri şekil parametresini göstermektedir. q _r ise bağlantıya ait bağıl dönme açısıdır. n aşağıdaki ifade ile elde edilir.

Şekil 4’de geometrisi ve eleman özellikleri gösterilen çerçeve üç farklı rijitlik için Al-Bermani ve Kitipornchai (1992) tarafından çözülmüştür. Literatürde yöntemlerin karşılaştırılmasında sıkça kullanılan bu çerçeveye ait yük deplasman ilişkisi birinci durum için yay rijitlikleri sonsuz, ikinci durum için 1.8´ 10³ lb-in/rad ve üçüncü durum için ise sıfır alınarak bulunmuştur.

Bu çalışmada her bir durum Al-Bermani ve Kitipornchai (1992) ile hesaplanarak Şekil 5’te verilmiştir. Sonuçlar arasındaki farkın az olduğu Şekil 5’te görülmektedir.

Şekil 6’da geometrisi, eleman tipleri ve yükleme durumu gösterilen iki katlı tek açıklıklı çerçeve, düğüm yükleri ve ara yükleme altında analiz edilmiştir. Çizelge 1’de King ve Chen (1993)’in sonlu eleman çözümü, King ve Chen (1993)’in yaklaşık çözümü ve bu çalışmada ve durumları için bulunan sonuçlar, düşey ve yatay yüklemenin birlikte olup olmamasına göre karşılaştırılmıştır. Çizelge 1’den de görüleceği üzere yarı rijit bağlantı olması, eğilmenin göz önüne alınması ve yükün ard arda (sırasıyla önce düşey sonra yatay yük) iki yük adımında uygulanmasıyla sistemin yatay deplasmanlarının arttığı görülmektedir.

Bağlantıya ait özellikler ve birimler , ve olarak alınmıştır.

4. SONUÇ

Eksenel kuvvetin eğilme rijitliğine etkisi ikinci mertebeden momentler doğurmaktadır. Bu etki nonlineer analizlerde göz önüne alınmaktadır. Eğilme momenti de eksenel kısalmaya neden olması sebebiyle eksenel rijitliği etkilemektedir. Her iki etkinin birlikte alınması daha doğru sonuçlar doğurmaktadır. Ayrıca hem düşey hem de yatay yüklerin etkisi altındaki sistemler, düşey ve yatay yüklerin bir arada etki ettirildiğinde, eğer düğüm koordinatları da güncelleştiriliyorsa, düşey düğüm yükleri düğümlerin yatay yer değiştirmesi nedeniyle ilave momentler de doğuracaktır. Farklı olarak düşey ve yatay yükler ard arda yüklenecek olursa, eğilmiş yatay çubuklara yatay yüklerin etki etmesi daha büyük ikinci mertebe moment oluşmasına sebep olacaktır.

Bütün bu sebeplerden dolayı, doğru çözümü etkileyebilecek bütün etkiler göz önüne alınmalıdır. Bağlantıların gerçek davranışlarının tespit edilip göz önüne alınması, nonlineerliği etkileyen faktörlerin ve yüklemenin birlikte uygulanıp uygulanmayacağına karar verilmesi vb. etkiler çıkan sonuçları etkileyecektir.

5. KAYNAKLAR

AKSOĞAN, O. MISTIKOĞLU, G. ve AKAVCI, S.S., 1995. Ultimate Capacities of Frames with Strain-Softening Connections. Proceedings of the Third  International Conference on Steel and Aluminium Structures, 231-238.

AL-BERMANI, F.G.A. and KITIPORNCHAI, S., 1992. Elastoplastic Nonlinear Analysis of Flexibly Jointed Space Frames. J. Struct. Eng. ASCE, 118(1):108-127.

ALMUSALLAM, T.H. and RICHARD, R.M., 1993. Steel Frame Analysis with Flexible Joints Exhibiting a Strain Softening Behavior. Comp. Struct., 46(1):55-65.

BARAKAT, M. and CHEN, W.F., 1990. Practical Analysis of Semi-rigid Frames. Eng. J. AISC, 27(2):54-68.

BATOZ, J.L. and DHATT, G., 1979. Incremental Displacement Algorithms for Nonlinear Problems. Int. J. Num. Meth. Eng., 14:1262-1266.

BERGAN, P.G., 1980. Solution Algorithms for Nonlinear Structural Problems. Comp. Struct., 12: 497-509.

CHAN, S.L., 1988. Geometric and Material Nonlinear Analysis of Beam-Columns and Frames Using the Minimum Residual Displacement Method. Int. J. Num. Meth. Eng., 26:2657-2669.

ERDEM, H. ve AKSOĞAN, O., 1994. The Analysis of Frames Consisting of Members Connected to Their Rigid End Sections by Nonlinear Rotational Springs. Ç.Ü.Müh.Mim.Fak. Dergisi, 9(1-2):33-46.

ERDEM, H., AKSOĞAN, O. ve HÜSEYİN, K., 1996. Bağlantıları Yarı Rijit ve Nonlineer Davranan Üç Boyutlu Çerçevelerin İncelenmesi. Ç.Ü.Müh.Mim.Fak. Dergisi, 11:33-45.

KING, W.S. and CHEN, W.F., 1993. LRFD Analysis for Semi Rigid Frame Design. Eng. J. AISC,

TOADER, I.H.I., 1993. Stability Functions for Members with Semirigid Joint Connections. J. Struct. Eng. ASCE, 119(2):505-521.

VISSER, M., 1995. Steel Frame Stability Design. Eng. J. AISC, 32(1): 12-20.

YU, C.H. and SHANMUGAM, N.E., 1986. Stability of Frames with Semirigid Joints. Comp. Struct., 23(5):639-648.